Notación de conjuntos

Historia

Los Griegos tomaron elementos de la matemática de los Babilonios y de los Egipcios.   La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.c. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

Notación de conjunto

Las ideas conjuntistas  tienen vigencia en todas las actividades  del hombre  y constituyen un elemento   básico del pensamiento racional. Todos  los sistemas matemáticos  utilizan el lenguaje de la teoría de conjuntos  para expresar  las propiedades, relaciones y operaciones entre los elementos que hacen parte de cada sistema matemático.

Definición de conjunto

Podemos decir que un conjunto es una colección de  objetos de una misma naturaleza que cumplen  una propiedad determinada. Los objetos de un conjunto reciben el nombre de ELEMENTOS  y se representan  por letras minúsculas o por números.

Los conjuntos se simbolizan por letras mayúsculas y sus elementos se encierran entre llaves o corchetes, separándolos con una coma.

Ejemplos

Son conjuntos los siguientes:

1.            Los objetos que están en el salón de clase

2.            Los alumnos del colegio

3.            Los profesores del colegio

4.            Las vocales

5.            Los países de Suramérica

Si fuéramos a representar los conjuntos anteriores, haríamos lo siguiente: Supongamos que   A   es el  conjunto formado por las vocales, es decir:

Los conjuntos también se pueden representar gráficamente por medio de    figuras    geométricas  como círculos, rectángulos,  cuadrados   o curvas cerradas, esta representación la llamaremos DIAGRAMAS DE VENN, ya que éste matemático  fue quién utilizó  esta forma para representar los conjuntos. 

Ejemplos

Sean los siguientes  conjuntos:

 

1.    Sea A el conjunto de los dígitos

2.      Sea B las vocales abiertas

3.      Sea C las vocales cerradas

   

Pertenencia y no pertenencia

Cuando decimos que un conjunto está constituido por elementos, establecemos  una relación entre  un elemento y el conjunto, ésta  relación la llamaremos relación de pertenencia.

Dados un elemento a y un conjunto A, puede ocurrir uno de los siguientes eventos:

  Cardinalidad de un conjunto

El cardinal de un conjunto es el número natural  que representa la cantidad de elementos que contiene  el conjunto y se denota por:          # ( A) = n  ¨ El número de elementos de A es n ¨

        

Si miramos el ejemplo anterior, podemos decir que el cardinal del conjunto B estará dado por:

          #( B) = 5  porque el conjunto B tiene 5 elementos.

Determinación de conjuntos

Los elementos que pertenecen a un conjunto  se pueden nombrar de dos formas: por extensión o   por comprensión.

                                           

 Extensión

Un conjunto cualquiera se determina por  extensión cuando se nombra a cada uno de sus elementos. Por ejemplo:

El conjunto C representa a las vocales

Comprensión

Un conjunto cualquiera se determina por comprensión cuando se le da  una propiedad común  a todos sus  elementos. Utilizaremos la notación:     {X /  X}   Que se lee:

¨  El conjunto de las X, tales que  X ¨  Por ejemplo:

            

El conjunto C se lee: ¨ El conjunto de las     X,     tales  que X es una vocal ¨ 

                 Cuando se conoce el número de elementos de un conjunto, éste se llamará conjunto FINITO, por lo tanto su cardinal es n. Si el número de elementos no se puede determinar, el conjunto será  INFINITO, es decir que no existe un número natural que  represente su cardinal.

Teoría de conjuntos     Lógica y conjuntos  Diagramas de Venn